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北大學子備考錦囊 | 韓昀致:厚積薄發,妙悟數學
http://www.weixinqunso.net  2024年1月4日  來源:北京大學招生辦

  寒窗苦讀時,是否期待一盞明燈?挑燈夜戰時,是否渴望指點迷津?或許你已經步履沉重,或許你還在咬牙堅持,但請相信這不會是一場孤勇的旅程。未名博雅,千里同行,北大學子為你送上這份真誠的“備考錦囊”。學什么最重要?怎么學最高效?這里有你最需要的答案。無論你是求學前路尚曲折的旅者,還是高考戰場正披掛的戰士,北大始終與你同行。

  學生姓名:韓昀致

  畢業中學:江蘇省淮陰中學

  就讀院系:北京大學數學科學學院

  概述:中學的數學

  數學,是一門所有中學生都不會感到陌生的學科。誠如卡爾·馬克思所說:“一門科學,只有當它成功地運用數學時,才能達到真正完善的地步!睌祵W是一切自然科學的基礎,從個人角度看,一名學者數學水平的高低很大程度上決定了他的研究深度;從人類角度看,數學學科的一次次革命與發展推動著人類社會生產力水平的提高,數學學科的重要性不言而喻。

  在中學的求知階段,我們不再滿足于小學時對數學學科的偏感性認識,而是更為系統與全面地接觸并掌握數學知識,培養嚴謹科學的數學思維。中學的數學學習無疑是基礎的、關鍵的。而數學歷來也是中學各種考試的重難點、“生命線”,很多時候這一門學科便可以拉開巨大的分差,區分度極大。因此,無論是基于功利應試的層面還是人生未來的層面,中學數學都不可謂不重要。

  然而,從初中到高中,數學也是令無數同學憂心忡忡的一門學科。在數學學習中出現的各種問題,歸根結底在于其巨大的訓練量、計算量、思維量讓中學數學的學習非常需要學生具有正確的心態、恰當的方法、嚴謹的規范與靈活的技巧。這四者相輔相成、缺一不可,當數學學習遭遇瓶頸或產生波動時,我往往從這幾個角度加以反思與改進,取得了不錯的效果。在此,我希望用這篇文章,講一講我個人對中學數學尤其是課內部分的學習經驗,能為需要它們的同學提供一些綿薄的幫助。

  1

  心理與態度

  長風破浪會有時,直掛云帆濟滄海

  在闡述一些具體的做法前,我想先簡單表明我所認為正確的數學學習心態,畢竟心態好比一門學科學習時的心理底色,也有一定的共性,定下了心目中這門學科的基調。

  中學數學的成績,從來不是僅僅由天賦或智商決定的,甚至可以說,這些因素在其中的影響并不大。如同任何一個中學學科一樣,影響最終成績高低的最直接因素,除去臨場的狀態和不可預知的考運外,就是平日里在這門學科上的付出與積累,和考前復習所做的準備,誰都不能在數學學習中選擇躺平。

  所以,每一名同學都有學好數學的潛力,對于自我要求較高的同學,更應當追求數學學科的卓越。值得在這門學科上做出的努力是沒有極限的,遭遇到困難意味著訓練思維的增長點的出現,而非是駐足退縮的理由。無論是誰,數學學習的目標都應是始終向上、精益求精,追求盡可能接近滿分,拒絕小富即安。

  一分耕耘,一分收獲,為學習數學所花的精力,總會在某一天帶來一定的回報;持之以恒地鉆研數學,終可以在數學之海中乘風破浪。不懼怕數學、具有迎難而上的韌勁與耐挫力、永遠保持自己可以學好數學的樂觀與堅定并愿意為之努力,這是學習數學應有的第一點心態。

  也有一些同學會走向另一個極端,也就是過分地依賴大量刷題、一段時間不學數學就會焦慮,這當然也是不必要的。數學終歸也是一門中學學科,的確需要大量的投入,但也不必為了數學影響到其他學科,或是不理性地花費寶貴的時間去做沒有太多效果的事。平靜地對待數學,反而會有助于思維的活躍與注意力的集中,也更容易把數學學好。戒驕戒躁,以一顆平常心對待數學,不太過緊張而影響正常的思考,這是我想說的第二點心態。

  而更高一個境界,則是在學習數學的過程中感悟到數學之美,體會學習數學的樂趣,從中感受心靈的平靜與思考的純粹?继卣f過,“數學是人類智慧皇冠上最燦爛的明珠!彪m然我們的水平與眼界不及那些數學大家,但當我們苦苦思索一道題后終于豁然開朗時,當學習數學的日日夜夜化為成果時,那種喜悅是真切的;一道巧妙的題目,不僅考驗了能力,更讓人不禁驚嘆出題者的巧思與數學的結構美;小心謹慎地完成一道陷阱重重的題目,正是一次對嚴謹科學精神的接觸。

  將自己沉浸于數學學習中,總有一個時候,你會發現自己對于數學的興趣,數學學習也就成為了一種自然的樂事。

  這三點心態來自我自己的數學學習過程,我相信,秉持正確積極的心態,數學終會成為一位良友,讓人受益無窮。

  2

  學數方法論

  千淘萬漉雖辛苦,吹盡黃沙始到金

  光有心態,對于中學數學學習是顯然不夠的。中學數學的學習講究“精講多練”,基礎的知識經過老師們一年年的拓展與挖掘,產生了千變萬化的題型、不計其數的考點、不容小覷的難度,考試的內容對于中學的學習時間而言是繁多的,停留于表面的刷題無法真正解決問題,所以不可“把題目帶進考場”,而應“把思維帶進考場”。數學學習沒有捷徑存在,數學成績不會無故階躍,我的方法沒有什么聳人聽聞的秘技,也不宣稱什么奇跡,唯有坐得住、學進去、勤思考、多總結,最真實的數學水平才會一步一步地提高,經得住各種試煉,在風雨中立定腳跟,踏石留印。

  廣義上的方法可以分為學習的方法和解題的方法,后者更多的屬于技巧一類,本章先重點就前者進行介紹。中學學習在時間上可以分為兩個階段,一是初中階段,二是高中階段,二者具有很大的共性,但也有一定的差別。具體而言,初中數學的學習難度相對平和,高中數學的學習難度則較大,因而高中數學需要的方法也會更多?傮w來說,日常的中學數學學習有如下過程:預習、課堂、作業、訂正、練習、復習、考試,每一個過程都十分重要,相輔相成。

  預習是學好數學的第一步,但也是經常不被重視或缺乏正確方式的一步。有同學通過課外輔導過早地學習超過其所在年級的知識,這種階段性的預習意識是好的,對于以競賽為目標、能力較強的同學,這是適合的預習,但我個人認為這對于以普通高考為目標的學生而言沒有必要,一般來說在每個學期前能把這個學期前幾章的內容進行預習便足矣。這種“總預習”可以讓學期在開始時的壓力不那么大,也更容易把知識掌握牢固,更快進入學習狀態。

  中學數學的預習肯定不能止于翻一翻書本,無論是自主復習還是依靠輔導,一定的訓練是必要的,先拿一本資料把對應單元的題目做一做,根據做題的感覺在課本中尋找相關內容并進行理解,對課本有大致的印象,可以更高效、更有針對性地完成預習準備。

  除此以外,預習還發生在每一天的學習中,通常中學數學的講義會分為課堂精講和課后練習,課堂所要講的例題,就是前一天預習時要提前完成的部分。這種分散在日常中的預習,最好配合精讀課本上的相關內容,尤其是課本中的定理定義、思考題和補充內容,這些不只含有標準的解釋和有關的思想,還是考試的依據,在課堂中也涉及較少,及時跟進課本可以讓學習變的扎實。

  此外,預習的好壞并非以能否做對為標準,預習本來遇到的就是陌生的知識與題目,不會做、做不對無可厚非,關鍵在于是否留下了有效思考的痕跡,做對了有什么心得?思路進行不下去是哪里出了問題?想到的多種思路哪一種更好?帶著自己的觀點與疑惑進入課堂,才能讓學習事半功倍。

  無論是什么學科,課堂都是學習的核心區。課堂的內容中或許會有自己已經熟練的內容,但就在這些自以為熟悉的內容中,老師在某一個瞬間的板書或講解可能就包含著幾十年經驗帶來的重要提醒。

  課堂中學生應該是主動的,把細微的關鍵點從一節課堂任何可能的位置中發掘出來,這需要注意力的高度集中,切忌長期在課堂上做作業或走神,否則千里之堤,潰于蟻穴,日積月累的損失會帶來可怕的后果。

  除了集中精力聽講,課堂上還需要盡量隨堂理解好老師的思路、記憶住評講的知識點,不能太自信于自己的課后復習能力。對于中學數學的課堂筆記,我的看法是記下例題,解答不要去匆忙地記錄,留到下課后憑借對課堂的回憶再去完成,這樣做筆記的過程也就成為了回顧課堂、加深理解的過程,充分利用了筆記,當你在課后可以完整無誤、沒有疑惑地完成例題,也就對例題有了深度的見解,同時也不會因為記筆記分散了精力而錯過課堂的內容。

  另外,在數學課這樣一個對學生課前與課上思考力要求高的課堂,真正優秀的學生往往能主導課堂的節奏,而不是做被動的接受者,同學們在課堂上應該積極發言,展示自己的思路方法,這樣數學的課堂將會充滿生機。

  作業與訂正是緊隨課堂的,老師監督力度較高的硬性練習與整理,質量較高,需要珍惜。對于作業不應當僅以完成為目標去用零碎的時間把完整的一份學案拆散,而是應該留出整段的時間限時、高質完成,配合作業對每天的課堂內容及時鞏固,把作業的完成效果最大化。

  作業的訂正也不能滿足于記下一個答案,最好的態度是附紙訂正,以最嚴格的大題標準要求過程,愿意的話還可以抄一下題干來強調審題的重要,簡單對錯因進行分析,便于復習。

  關于錯題本,可以根據自己的需要進行選擇性的整理,建議在高中階段備有兩本:一本記錄相對低級的錯誤點或知識盲區,逐條記錄提醒自己;另一本記錄難題大題的步驟思路,積累方法、提升思維,錯題本應以實用為先,不要去為了外在的形式耗費大量時間。

  課外自主的練習與作業相對,屬于“老師建議+自主選擇”的偏軟性練習。中學數學的課外練習很多時候會進入一個誤區,即大量訓練,遭遇難題怪題導致焦慮或依賴心理,為解決焦慮而選擇刷更多的題,漸漸走上題海戰術的道路,影響正常課內學習。

  選擇一本適合自己的、高質量的、題量適中的練習冊,是從源頭上解決這個問題的第一步。課外拓展要記住不刷情緒題、不刷急躁題、不刷偏門題、不刷毛病題,練習只需要一本,重在自己對其有始有終的對待與利用,像對待作業那樣對待練習,用練習補充作業,著重練習弱點難點,練習才會有效。

  對于中學數學而言,考前的復習雖說是臨陣磨槍,但也可能幫助避免考試時低級錯誤的發生,帶來考試的底氣與自信,因此復習的主要內容包括作業中的錯題、課堂的筆記以及平時整理的錯題本。

  考試是總結提升的好機會,一名中學生的數學能力總是在一次次考試的洗禮后成長?荚嚂r的技巧可以粗略的概括為幾個關鍵詞:調動精力、因題用法、分配時間、顧全大局,以最佳的狀態迎接考試的檢驗,考后認真做好反思總結,進步與突破終會萌生。

  圖片

  3

  規范很重要

  慎對易處以避難,敬待毫微致遠大

  這一部分我想通過規范強調中學數學的代表性學科品格:嚴謹細致。規范是什么?規范不是死板的答題套路,規范可以是看得見的,是優美工整的卷面,條分縷析的答題步驟;規范也可以是看不見的,是草稿本的有序利用,審題時做的圈圈畫畫。當老師第一次向我指出規范的重要性時,我也曾把規范當做是便利閱卷老師的表面功夫,不需要認真對待,但在不斷地試錯與改進中,我發現規范帶來的紅利,遠遠不止給閱卷老師帶來好印象這么簡單。

  第一,以2023年數學新高考一卷為例,很多考生踏出考場后表示試題簡單,但這類考生的成績往往不如人意,一部分原因正是本次高考閱卷對過程分改得細、要求高,在平日里就關注規范,在中、高考較高的閱卷標準下具有一定的直接優勢。

  第二,除了客觀因素,規范的存在更對學生自己有著主觀上的正面效果,如果做題時謹守規范,做題速度必然無法過快,看似教條的規范實則是歷來教學實踐的經驗之談,遵守規范的同時也就規避了大量如審錯題、計算錯等非智力因素失分。

  第三,規范也并非完全的一成不變,融入一定個人風格的規范其實體現了個人的思考特性,有助于個人數學思維的培養。

  揆其本質,規范反映了中學數學力圖培養的嚴謹學風。嚴謹意味著理性與確定性,這也是數學最吸引我的一點。高一時剛剛接觸立體幾何時那堂有關公理的數學課令我記憶猶新,那節課的內容本身并無難度,但老師卻帶著我們利用基本事實,結合課本將公理一一證明,課堂兼具思維量與趣味性,深化了我們對基本事實與公理的理解。

  看似顯然的結論,若沒有可以窮盡客觀事實的證據將其證明,那也只是一個猜想。數學史上體現嚴謹之重要的例子不勝枚舉,譬如雙曲幾何與橢圓幾何的建立;譬如強小數定律的告誡;還譬如讓學者一度懷疑計算機故障的Borwein積分……只憑借客觀的驗算與邏輯判斷對錯,這是令我激賞的數學之堅固。當自己被一道題目的陷阱欺騙后憤懣不平時,不妨想想其對規范的引導,想想其反證的嚴謹的必不可少。

  一言以蔽之,著眼于細節處的規范,是一個扎根的過程,有了這么一個根本,才能生長出參天大樹。

  4

  技巧的悖論

  剝盡皮毛見本真,此中無古亦無今

  即使是最優秀的同學也會不經意間因為對奇技淫巧的追求陷入困境,但答題技巧也是無數有關中學數學的參考書的關鍵賣點,我即使窮盡這整篇文章的篇幅,離講完中學數學所有的技巧也遙遙無期,何況我也不知道所有的技巧,甚至不知道中學數學的技巧是不是有限的,所以我并不打算寫怎么做題,而是要寫寫我對于技巧本身的觀點。

  技巧是有用的,尤其是對于解析幾何這種計算量巨大的題型,適當地積累一些針對特定問法的技巧,無疑可以在面對相應問題時省下大量時間,例如在解析幾何大題中齊次化、平移齊次化、運用基本不等式與“1”的代換求最值,這些技巧確實很有用。但問題有內外兩點,外是高考以創新為導向,像2023年數學新高考一卷的壓軸解幾就很難在考場上想到什么平常多用的技巧;內是學生對技巧的掌握通常停留在完整解題的 “后半段”,也就是說,老師與教輔比較容易講明白一套技巧的工作原理,但很難講明白這套技巧的產生原理,或只能牽強附會地講明白。

  如通過構造一元二次方程利用根的判別式證明Cauchy不等式的技巧,第一次聽到時確實給我帶來了驚嘆,但驚嘆之后呢?沒有之后,那個技巧在其他地方幾乎毫無用武之地。打一個比方,技巧就像是一把把大小、花紋各不相同的螺絲刀,它們可以輕松地把對應的螺絲擰進洞里,但當你遇到了一個從未見過的螺絲,你卻沒有辦法制作出一個與之匹配的螺絲刀。這就是技巧的困境。

  怎樣走出迷宮,不做技巧的囚徒呢?答案是:練好一把錘子。這把通用于所有型號的釘子的錘子,就是通性通法。高考壓軸題固然難,但耐下性子列式聯立計算,用最基本的韋達定理、消元法和求導求最值,證明最終自然完成了。中學數學不強求太多技巧,高考更不會考察技巧,回歸課堂書本中的基礎,那里就有最好的技巧。

  總結一下:我們需要適當掌握技巧,但技巧不會是中學數學的重心所在。

  寫在最后:關于競賽

  本文主要面向課內學習寫作,但競賽也是中學數學,特別是高中優秀學子們繞不開的話題,在結尾一筆帶過。

  本人參加過高中數學競賽,雖然是半路出家,也取得了一些成績。競賽競爭激烈,對于要不要學的問題,我的答案是數學競賽對于課內學習存在一定的幫助,但并沒有太多直接的優勢,很多競賽生反而會因缺乏良好的習慣而在課內數學學習中存在劣勢,但競賽會豐富中學數學的課內內容,這本身也有很多更長遠的益處。綜上,我還是會推薦有能力的同學分一些精力嘗試數學競賽,至少這一面之緣給我留下了美好的回憶。

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